حساب الانحراف المعياري للمشروع

بعد قراءة هذه المقالة سوف تتعلم عن حساب الانحراف المعياري للمشروع.

في PERT ، يتم استخدام تقديرات الوقت الثلاثة لإيجاد الوقت المتوقع لإكمال النشاط ، وعندئذ ، من خلال عملية الانحراف المعياري والتباين ، نجد احتمال إجمالي مدة المشروع المقدرة لاستكمال جميع الأنشطة ، وبالتالي ، المشروع. يتبع PERT منحنى توزيع بيتا لتحديد الانحراف المعياري ، وهو سدس النطاق.

تتمثل الخطوات المتخذة لحساب الانحراف المعياري لمجموع مدة المشروع في:

(أ) ابحث عن المسار الحرج مع تقديرات الوقت ثم حدد الأنشطة على المسار الحرج.

(ب) الانحراف المعياري لكل نشاط (الرمز المستخدم S t ):

S t = t p -t o / 6

(وهو سدس النطاق الزمني المقدر ونطاق التقدير الزمني هو الفرق بين التقديرات الزمنية المتفائلة والمتشائمة).

(ج) يحسب التباين لكل رمز نشاط يستخدم بوصفه v t و V t = S t 2 = (t p -t o / 6) 2

(د) أوجد الانحراف المعياري للمدة الإجمالية للمشروع كـ SD = √Sum of all V ' t (الذي يمثل إجمالي t e -s لكل الأحداث على المسار الحرج).

المثال التوضيحي 1 (حول الاحتمالية في PERT):

قبل المضي قدمًا ، يمكننا البدء في العمل ، مع اتباع نفس الرسم التوضيحي الوارد في الجدول أدناه ، واستخدام الصيغ أعلاه:

يمثل CP النشاط على المسار الحرج:

1. مدة المشروع المتوقعة E = 5 + 15 + 4 + 5 = 29 يوم (أي إجمالي t e -s للأنشطة على المسار الحرج).

2. تباين المسار الحرج = 2.79 + 2.79 + 0.45 + 0 = 6.03

3. الانحراف المعياري (SD) في مدة المشروع هو √6.03 = 2.46.

لقد رأينا في وقت سابق أن t لديه احتمال 0-5 وهذا الاحتمال قابل للتطبيق حتى على الوضع التراكمي حتى نصل إلى نهاية الحدث. هذا صحيح حتى عندما نقوم بتجميع t-es لجميع الأحداث السابقة ومازال يمكن القول أن الاحتمال هو 0.5 للوقت التراكمي كما في ذلك الحدث. عندما نقول أن مدة المشروع المتوقعة هي T E ، نعتبر T E هو متوسط ​​التوزيع مع احتمال 0-5.

من التفاصيل المحسوبة أعلاه ، يقترح PERT عمل الانحرافات عن متوسط ​​التوزيع في وحدات الانحراف المعياري وقراءة الاحتمالية من جدول التوزيع الطبيعي.

عندما نرغب في العثور على احتمالية التاريخ المحدد للتاريخ المجدول ، يعمل PERT على T E و SD كما هو موضح بالفعل ثم يكتشف مقدار الانحراف عن T s من التوزيع المتوسط ​​(T E ) في وحدات الانحراف المعياري ( SD). لقد عملنا بالفعل من Ts و SD من الرسوم التوضيحية المتوقعة الموضحة على الطاولة.

بعد PERT نستطيع الإجابة عن أسئلة مثل:

(أ) ما هو احتمال إكمال المشروع خلال (1) 29 يومًا ، (2) 32 يومًا ، (3) 27 يومًا؟

(ب) ما هو عدد الأيام التي يمكن أن يكتمل فيها المشروع مع احتمال 95٪؟

الخطوات الواجب اتخاذها هي:

الخطوة 1.

احسب الوقت المتوقع لكل نشاط بعد الصيغة t e = t o + 4t m + t p / 6

مع حساب t t كما تم حسابه ، ارسم الشبكة وابحث عن المسار الحرج والمدة المتوقعة للمشروع ، T E.

الخطوة 2.

احسب (أ) الانحراف المعياري لكل نشاط يمثل سدس نطاق الوقت المقدر أي S t t t t / 6 ثم

(ب) التباين لكل نشاط حرج أي S t 2 = (t p - t o / 6) 2

(ج) والانحراف المعياري للمشروع ، SD ، الجذر التربيعي لإجمالي التباينات لجميع الأنشطة الحرجة: SD = √Sum of S t 2 من الأنشطة الحرجة. (SD = 2.46 في الرسم التوضيحي أعلاه).

الخطوه 3؛

قم بحساب الانحراف عن التاريخ المجدول T s من متوسط ​​التوزيع ، أي T E بوحدات SD. قيمة هذا الانحراف هي Z ويتم حساب الصيغة Z = T S -T E / SD.

الخطوة الرابعة:

من قيمة Z والتشاور مع جدول التوزيع الطبيعي (المشار إليها جزئيا في الجزء الأخير من هذا الفصل في 6.1.03) نجد قيمة أخرى ، ونحن نعدل مع 0-5 (متوسط ​​التوزيع) ونجد احتمال T s .

الخطوة 5:

يعتمد الضبط من 0 إلى 5 على طول الوقت لـ T s و T e . من الواضح ، عندما يكون T s > T E الاحتمال أكثر من 0-5 ؛ لذلك ، نضيف القيمة المقروءة من جدول التوزيع الطبيعي وعندما يكون T E > T s نحن نخصم من 0-5.

الإجابة على الأسئلة:

1. أ -1) ما هو احتمال استكمال المشروع ب 29 يومًا عندما تكون مدة T 29 29 يومًا؟

Z = T S -T E / SD = 29-29 / 2.46 = 0 القيمة من جدول التوزيع العادي لـ 0 هي صفر.

وبالتالي ، فإن احتمال اكتمال المشروع 29 يومًا = 0.5 + 0 = 0.5 أي 50٪.

2. a-2) عندما يكون T s هو 32 يومًا

Z = T S -T E / SD = 32-29 / 2.46 = 1.22؛ القيمة من جدول التوزيع العادي لـ 1.22 هي 0.39.

T s أكثر من T E ، لذلك ، الاحتمال هو 0-50 + 0-39 = 0-89 أو 89٪ (أو احتمال عدم مقابلة التاريخ هو 100 - 89 = 11٪)

3. أ -3) عندما يكون T t 27 يومًا

Z = T S -T E / SD = 27-29 / 2.46 = - 0.81؛ القيمة مقابل 0.81 من جدول التوزيع الطبيعي 0.29. T 5 أقل من T E ، لذلك ، الاحتمال هو 0-50 - 0-29 = -21 أو 21٪.

(ب) كم عدد الأيام التي يمكن فيها استكمال المشروع مع احتمال 95٪ (أو بمستوى ثقة 95٪)؟

نفترض أن T s هو عدد غير معروف من الأيام ، وبما أن الاحتمال أكثر من 0-50 (أي أكثر من 50٪) ، يجب أن يكون T t أكثر من T E (في عدد الأيام) والقيمة لكل جدول هي 0.95 - 0.50 = 0.45. ونلاحظ أيضًا من الجدول أنه يمكننا الحصول على 0-45 عندما تكون قيمة Z هي 1.65 (0.4505).

تي ق - 29

الآن نجد المعادلة Z = T S -29 /2.46 = 1.65

أو T = 29 + 2.46 × 1.65 = 33 يومًا.

يمكننا أن نقول بثقة 95٪ أن المشروع سيكتمل في 33 يومًا.

توضيح 2 على الاحتمالية حسب PERT :

فيما يلي جدول لأنشطة المشروع مع فترة تفاؤل مقدرة ومرجحة ومتشائمة (بالأيام):

من التفاصيل كما في الجدول أعلاه ، فإننا نرغب في:

(أ) رسم شبكة المشروع ؛

(ب) العثور على المسار الحرج ؛

(ج) حساب تباين المسار الحرج ؛

(د) أوجد احتمال اكتمال المشروع (بعد المسار الحرج) في 41 يومًا.

الخطوة 1: حساب الوقت المقدر t لكل نشاط حسب PERT:

بناء الشبكة مع t- e -s والمسار الحرج.

الإجابة على الأسئلة (ج) و (ب).

وسيلة إيضاح (شبكة):

Legends (2) المسار الحرج الذي يظهر مع أسهم خط مزدوج ينضم إلى الأحداث التي تظهر EST = LFT.

(3) يمثل المسار الحرج الأنشطة A و C و G و I.

(4) مدة المشروع ، T E هي 36 يومًا.

الخطوة 2. حسابات

(أ) الانحراف المعياري لمدة الأنشطة ، S t = t p -t o / 6 ؛

(ب) تباين الأنشطة S، 2 على المسار الحرج؛ إجمالي تباينات المسار الحرج = 25.

الإجابة على السؤال (ج).

الانحراف المعياري لمدة المشروع (قم بعمل صورة)

SD = √Total Variance لجميع الأنشطة الحرجة

= √25

= 5

الخطوه 3:

تاريخ انحراف الجدول الزمني ، T s (الذي يعطى 41 يومًا) بوحدات SD هو Z و

Z = T S -T E / SD

أو

Z = 41-36 / 5 = 1

الخطوة الرابعة:

يعرض جدول التوزيع العادي القيمة لـ 1 كـ 0-3413. ﻧﺤﻦ ﻧﻌﺮف أن T E ﻣﻦ 36 ﻳﻮم آﺈﺣﺘﻤﺎل 0.5. ، T ﻣﻦ 41 ﻳﻮﻣﺎً أآﺒﺮ ﻣﻦ T E ، ﻓﺈﻧﻨﺎ ﺳﻮف ﻧﻀﻊ 0.3413 ﻣﻊ 0.5 وﻧﻌﺮف إﺣﺘﻤﺎل 41 ﻳﻮﻣﺎً آـ 0.50 + 0.34 = 0.84 أو 84٪.

المثال التوضيحي 3: (على الاحتمالية حسب PERT):

فيما يلي جدول لأنشطة المشروع ذات التفاؤل التقديري ، والأكثر احتمالاً والمتشائمة في الأسابيع:

وبالنظر إلى التفاصيل المذكورة أعلاه ، فإننا نرغب في :

(أ) رسم شبكة المشروع ؛

(ب) تحديد المسار الحرج على الشبكة ؛

(ج) أوجد احتمال اكتمال المشروع في 32 أسبوعًا ؛

(د) أوجد الأسابيع المقدرة للانتهاء مع احتمال 90٪.

الخطوة 1:

لحساب الوقت المقدر t لكل نشاط حسب PERT:

. . . الانحراف المعياري SD = .86.83 = 2.61

مع الرسائل الإلكترونية المذكورة أعلاه والأنشطة التي لها علاقة سابقة بالأحداث ، نرغب في إعداد بناء الشبكة ومن ثم نجد:

1. ESTs من الأحداث ، بدءا من الحدث (1) كما صفر EST ، ثم اتباع قاعدة تمرير إلى الأمام بالنظر في أطول EST عندما تتلاقى نشاطين أو أكثر إلى حدث واحد ، حتى نصل إلى الحدث الأخير.

2. LFTs من الأحداث ، بدءا من الحدث الأخير ، والأحداث الأخيرة LFT هي نفسها كما EST. ثم اتبع "الممر للخلف" وابحث عن LFT للحدث الذيل (مثل LFT of head event ، أقل t ij ) ، مع الأخذ في الاعتبار أقصر الوحدات الزمنية ، عندما ينبثق نشاطان أو أكثر من حدث واحد.

حل السؤال (أ) و (ب) رسم شبكة المشروع والعثور على المسار الحرج:

تلخيص عناصر الوقت في بناء الشبكة:

(1) EST للحدث 4: الأنشطة C و E و H تتلاقى مع C لمدة 0 + 9 = 9 أسابيع ، E لمدة 7 + 9 = 16 أسبوعًا و H لـ 8 + 7 = 15 أسبوعًا. لذلك ، نحن نأخذ أعلى ، أي 16.

(2) LFT للحدث 2: الأنشطة E و F تنبثق من الاتجاه إلى الخلف من الحدث 4 ، LFT for 2 هي 16 - 9 = 7 ، ومن الحدث 6 ، LFT for 2 هو 23.5 - 5 = 18.5. لذلك ، نحن نأخذ أقل ، أي 7.

نجد أن الأحداث 1 و 2 و 4 و 5 و 6 و 7 لديهم EST = LFT ، وعلى هذا النحو ، فهي أحداث حرجة وأسهم الخط المزدوج المعروضة في الشبكة تمثل المسار الحرج مع الأنشطة A ، E ، I ، J and L؛ إجمالي وقت المشروع هو 28 أسبوعًا ، أي أن T E هو 28 أسبوعًا.

حل السؤال (ج) لإيجاد احتمال استكمال المشروع في 32 أسبوعًا.

الخطوة 2:

حسابات المدة:

(أ) الانحراف المعياري لمدة الأنشطة S t = t p -t o / 6 في المسير الحرج المصاغ CP.

(ب) إجمالي التباينات على المسار الحرج = 6-83

(ج) الانحراف المعياري لمدة المشروع ، = √6-83 = 2.61

الخطوه 3:

انحراف التاريخ المجدول T s (وهو 32 أسبوعًا في السؤال) ، بوحدات SD يساوي Z وقيمة:

Z = T S -T E / SD = 32 - 28 / 2.61 = 1.53

قيمة 1-53 لكل جدول توزيع عادي = 0-4370 = 0-44 (تقريبًا).

الخطوة الرابعة:

نحن نضيف 0-44 مع 0-5؛ نظرًا لأن 32 يومًا أكثر من متوسط ​​مدة المشروع 28 أسبوعًا ، فنحن نضيف 0.50 + 0.44 = 0.94.

. . . احتمال اكتمال المشروع بـ 32 يومًا هو 94٪.

حل السؤال (د):

العثور على مدة المشروع مع احتمال 90 ٪. T s هو الجدول الزمني للمشروع غير معروف ، فهو أكثر من T E لأن الاحتمال 90٪ أكبر من احتمال 50٪. القيمة المراد ضبطها بـ 0.50 هي 0.90 - 0.50 = 0.40. من جدول التوزيع الطبيعي نجد أن القيمة المقابلة هي 0.40 هي 1.28. بمعنى آخر ، قيمة Z هي 1.28.

لذلك ، وضع القيم المعروفة Z = T S -T E / SD = T S -28 / 2.61 = 1.28.

أو ، T s = 28 + 2.61 × 1.28

= 28 + 3.34

= 31.34 أسبوعًا.

يمكننا أن نقول بمستوى ثقة 90٪ أن المشروع يمكن أن يكتمل من 31 إلى 34 أسبوعًا.

ملاحظة موجزة:

وجدنا أن التقنيات المتبعة في الكلفة بالألف ظهور (CPM) و PERT (بروتوكول نقطة إلى نقطة) تكاد تكون متشابهة للبدء باستثناء ما يلي:

1. تقترح PERT مجموعة واسعة من تقدير مدة النشاط تتراوح من التفاؤل إلى التشاؤم ؛ و

2. PERT يمتد إلى معرفة احتمال (بعد النظرية الإحصائية) من مدة المشروع.

وﻣن اﻟﺟدﯾر ﺑﺎﻟذﮐر أن ﻧذﮐر ھﻧﺎ أﻧﮫ ﺑﺎﻟﻧظر إﻟﯽ اﻟﮐﺛﯾر ﻣن اﻻﻓﺗراﺿﺎت ﻟﻟﺗﻘدﯾرات اﻟزﻣﻧﯾﺔ ، ﻗد ﺗﺗراﮐم اﻷﺧطﺎء ﻓﻲ ھذه اﻻﻓﺗراﺿﺎت ﻓﻲ ﻋﻣﻟﯾﺔ ﺗرﮐﯾب ، واﻟﺗﻲ ﻗد ﯾﺻل إﻟﯾﮭﺎ ﺣﺗﯽ ﻧﺣو 33 ﻓﻲ اﻟﻣﺎﺋﺔ.