منحنى الاحتمالية العادية: الحوسبة والخصائص والتطبيقات
اقرأ هذه المقالة للتعرف على الحساب والخصائص وتطبيقات منحنى الاحتمالية العادية في الإحصائيات.
حساب منحنى الاحتمالية العادية:
إذا قذف عملة غير متحيزة فسوف يسقط إما رأس (H) أو ذيل (T). هذا احتمال ظهور الرأس هو فرصة واحدة في اثنين. لذا فإن نسبة الاحتمال لـ H هي ½ و T هي ½.
وبالمثل ، يجب علينا إرم اثنين من العملات المعدنية ، والعملات المعدنية س ص وهناك أربع طرق ممكنة للسقوط.
وبالتالي فإن الطرق الأربع الممكنة هي - على حد سواء x و y قد تسقط H ، x قد تسقط T و y H ، x قد تسقط H و yT أو كليهما قد تقع T.
معبرا عنها بالنسب
احتمال اثنين من رؤساء = ¼
احتمال ذيلان = ¼
احتمال واحد H و واحد T = ¼
احتمال واحد T واحد H = ¼
وبالتالي فإن النسبة هي ¼ + ½ + ¼ = 1.00
يمكن التعبير عن المظهر المتوقع لرؤوس وذيول اثنين من العملات المعدنية على النحو التالي:
(H + T) 2 = H 2 + 2HT + T 2
إذا قمنا بزيادة عدد العملات المعدنية إلى ثلاثة أي x و y و Z ، فيمكن أن يكون هناك ثماني ترتيبات ممكنة.
يمكن التعبير عن المظهر المتوقع لرؤوس وذيول عملات معدنية على النحو التالي:
وبهذه الطريقة يمكننا تحديد احتمالية وجود مجموعات مختلفة من الرؤوس والذيول لأي عدد من العملات. يمكننا الحصول على احتمال أي عدد من العملات من خلال التوسع ذي الحدين. يسمى التعبير الذي يحتوي على فصلين "تعبير ثنائي". النظرية ذات الحدين هي صيغة جبرية توسع قوة التعبير ذي الحدين في شكل سلسلة.
الصيغة تقرأ مثل هذا:
(H + T) n = C (n، 0) H n + C (n، 1) H n-1 T + C (n، 2) H ( n-2) T 2 ….
... + C (n، r) H nr T r +…. + C (n، n) T n … (11.1)
حيث C = ممكن تركيبات.
C (n، r) = n! / r! (ن - ص)!
ن! يعني 1 × 2 × 3 × ... XN
n = إجمالي عدد المشاهدات أو الأشخاص.
r = عدد المشاهدات أو الأشخاص الذين يتم أخذهم في وقت واحد.
وبالتالي التوسع ذو الحدين
إذا تم رسم البيانات الواردة أعلاه في الرسم البياني كمسجل تكراري ومضلِّل تردد ، فسيكون ذلك على النحو التالي (شكل 11.1)
وبالتالي فإن الرقم الذي حصلنا عليه من إرم 10 عملات معدنية (H + T) 10 هو عبارة عن مضلع متعدد الجوانب.
وإذا استمررنا في زيادة عدد العملات ، مع كل زيادة ، سيظهر المضلع سطحًا أملسًا تمامًا على الشكل -11.2 الوارد أدناه:
يسمى هذا المنحنى على شكل جرس باسم "منحنى الاحتمالية العادية". وبالتالي ، فإن "الرسم البياني لدالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي هو منحنى متواصل على شكل جرس ، متناظر حول المتوسط" يسمى "منحنى احتمالية عادية".
في الإحصاءات ، من المهم:
(أ) هو توزيع العديد من المتغيرات الطبيعية ، مثل ذكاء طلاب الصف الثامن ، وارتفاع طلاب الصف العاشر وما إلى ذلك.
(ب) إن توزيع وسائل العينات المأخوذة من معظم السكان الأصليين أمر طبيعي أو تقريبًا عندما تكون العينات كبيرة بما فيه الكفاية.
لذلك منحنى طبيعي له أهمية كبيرة في العلوم الاجتماعية والعلوم السلوكية. في القياس السلوكي تقترب معظم الجوانب بالتوزيع الطبيعي. بحيث يتم استخدام المنحنى الاحتمالي العادي أو الأكثر شهرةً بشكل عام (NPC) كمنحنى مرجعي. من أجل فهم فائدة المجلس الوطني لنواب الشعب الصيني يجب علينا أن نفهم خصائص المجلس الوطني لنواب الشعب الصيني.
خصائص المنحنى الاحتمالي العادي:
بعض الخصائص الرئيسية لمنحنى الاحتمال العادي هي كما يلي:
1. المنحنى متناظر ثنائياً.
يكون المنحنى متماثلاً لإحداثيات النقطة المركزية للمنحنى. ويعني ذلك أن حجم المنحنى وشكله وانحداره على جانب واحد من المنحنى يتطابقان مع الجانب الآخر من المنحنى. إذا تم تقسيم المنحنى ، فإن جانبه الأيمن يتطابق تمامًا مع الجانب الأيسر.
2. المنحنى مقارب
يقترب منحنى الاحتمالية العادية من المحور الأفقي ويمتد من-إلى + ∞. يعني أن الأطراف المتطرفة في المنحنى تميل إلى لمس خط القاعدة ولكن لا تلمسه أبدًا.
هو موضح في الشكل (11.3) أدناه:
3. المتوسط والوسيط والوضع:
الوسط والوسيط والأسلوب يقعان عند النقطة الوسطى وهما متساويان عدديًا.
4. تحدث نقاط التصريف عند وحدة الانحراف المعياري ± 1:
تحدث نقاط التدفق في NPC عند ± 1σ إلى الوحدة فوق وتحت المتوسط. وبالتالي عند هذه النقطة يتغير المنحنى من محدب إلى مقعرة بالنسبة إلى المحور الأفقي.
5. تنقسم المساحة الإجمالية لـ NPC إلى الانحرافات المعيارية:
ينقسم إجمالي NPC إلى ست وحدات انحراف معيارية. وينقسم من المركز إلى ثلاث وحدات انحراف معيارية + ثلاث وحدات انحراف معيارية.
وهكذا ، فإن ± 3σ من NPC تتضمن عددًا مختلفًا من الحالات بشكل منفصل. بين ± 1σ تكمن منتصف 2/3 حالات أو 68.26 ٪ ، بين ± 2σ تكمن 95.44 ٪ الحالات وبين σ 3σ تكمن 99.73 ٪ الحالات وما بعدها 3σ فقط سقوط 0.37 ٪ من الحالات.
6. يمثل Y ordinate ارتفاع المنحنى الاحتمالي العادي:
يمثل Y ordinate الخاص بـ NPC ارتفاع المنحنى. في المركز الحد الأقصى يحدث. يُشار إلى ارتفاع المنحنى عند النقطة المتوسطة أو الوسطية بالرمز Y 0 .
من أجل تحديد ارتفاع المنحنى في أي نقطة نستخدم الصيغة التالية:
7. إنه وحيد الوجوه:
يحتوي المنحنى على نقطة ذروة واحدة فقط. لأن الحد الأقصى للتردد لا يحدث إلا عند نقطة واحدة.
8. ارتفاع المنحنى يتناقص بشكل متماثل:
ينخفض ارتفاع المنحنى إلى الاتجاهين بشكل متناظر من النقطة المركزية. يعني أن M + σ و M - σ متساويان إذا كانت المسافة من الوسط مساوية.
9. متوسط NPC هو µ والانحراف المعياري هو σ:
كما يمثل متوسط المجلس الوطني للسكان يعني السكان بحيث يتم تمثيلها من قبل µ (مياو). يمثل الانحراف المعياري للمنحنى الحرف اليوناني ، σ.
10. في المنحنى الاحتمالي العادي ، يكون الانحراف المعياري أكبر بنسبة 50٪ من Q:
في NPC يسمى Q الخطأ المحتمل أو PE.
يمكن تحديد العلاقة بين PE و a على النحو التالي:
1 PE = .6745σ
1σ = 1.4826PE.
11. يمكن استخدام Q كوحدة قياس في تحديد المساحة داخل جزء معين:
12. متوسط الانحراف عن متوسط تكلفة النقرة هو .798σ:
هناك علاقة ثابتة بين الانحراف المعياري والانحراف المتوسط في NPC.
13. يختلف نموذج الإحداثيات بشكل متزايد إلى الانحراف المعياري:
في منحنى الاحتمالية العادية ، يختلف التنسيق الشرطي بشكل متزايد إلى الانحراف المعياري. يزداد الانحراف المعياري لمنحنى الاحتمال العادي ، ويقلل التنسيق المعتدل والعكس بالعكس.
تطبيقات منحنى الاحتمالية العادية:
بعض من أهم تطبيقات منحنى الاحتمال العادي هي كما يلي:
يتم تطبيق مبادئ منحنى الاحتمالية الطبيعية في العلوم السلوكية في العديد من المجالات المختلفة.
1. يستخدم NPC لتحديد النسبة المئوية للحالات في التوزيع الطبيعي ضمن حدود معينة:
يساعدنا منحنى الاحتمالية العادية على تحديد:
أنا. ما هي النسبة المئوية للحالات التي تقع بين درجتين للتوزيع.
ثانيا. ما هي النسبة المئوية من النقاط التي تقع فوق درجة معينة للتوزيع.
ثالثا. ما هي النسبة المئوية من النقاط التي تقع تحت درجة معينة للتوزيع.
مثال:
بالنظر إلى توزيع الدرجات بمتوسط 24 و 8. على افتراض أن النسبة المئوية للحالات ستنخفض بين 16 و 32.
حل:
هنا أولا وقبل كل شيء لدينا لتحويل كل من 16 و 32 في النتيجة القياسية.
عند الدخول إلى الجدول A ، منطقة الجدول تحت NPC ، تبين أن 34.13 حالة تقع بين المتوسط و - 1σ و 34.13 حالة تقع بين المتوسط و 1 +. لذلك يشمل 68 68 68.26 ٪ من الحالات. بحيث أن 68.25 ٪ من الحالات سوف تقع بين 16 و 32.
مثال:
بالنظر إلى توزيع الدرجات مع متوسط 40 و 8. على افتراض أن النسبة المئوية للحالات تقع أعلى وأدنى درجة 36.
حل:
بادئ ذي بدء ، لدينا لتحويل درجة الخام 36 إلى النتيجة القياسية.
دخلت في الجدول A ، منطقة الجدول تحت المجلس الوطني للمرأة وجدت أن 19.15 ٪ من الحالات تقع بين المتوسط و -5σ. وبالتالي فإن النسبة المئوية الإجمالية للحالات فوق درجة 36 هي 50 + 19.15 = 69.15٪ وأقل من درجة 36 هي 50-19.15 = 30.85٪. لذلك في التوزيع 69.15 ٪ من الحالات أعلى من درجة 36 و 30.85 ٪ درجات أقل من درجة 36.
2. يتم استخدام NPC لتحديد قيمة الدرجات التي يتم إعطاء ترتيبها المئوية:
باستخدام جدول NPC يمكننا تحديد النتيجة الأولية للفرد إذا تم إعطاء الترتيب المئوي.
مثال:
في توزيع العشرات من رتبة الوشق بيني في الإحصاء هو 65. متوسط التوزيع هو 55 مع الانحراف المعياري لـ 10. البحث لكن النتيجة الأولية لل Pinky في الإحصاء.
حل:
حيث إن الرتبة المئوية لـ Pinky هي 65 حتى في وضع التوزيع الطبيعي ، يكون موضعها 35٪ أعلى من المتوسط. من خلال الدخول إلى الجدول "A" ، وجدنا أن 35٪ من المتوسط هو + 1.04 σ.
من خلال وضع القيمة في درجة "Z".
3. يستخدم NPC لإيجاد الحدود في التوزيع الطبيعي والتي تشمل نسبة معينة من الحالات:
عندما يتم توزيع التوزيع بشكل طبيعي وما نعرفه عن التوزيع هو متوسط والانحراف المعياري في ذلك الوقت باستخدام منطقة الجدول تحت NPC يمكننا تحديد الحدود التي تشمل نسبة معينة من الحالات.
مثال:
بالنظر إلى توزيع الدرجات بمتوسط 20 و σ من 5. إذا افترضنا أن هناك حدود طبيعية ، فإن أي حدود ستشمل المتوسط 75٪ من الحالات.
حل:
في التوزيع الطبيعي ، تشتمل الحالات المتوسطة 75٪ على 37.5٪ من الحالات أعلى من المتوسط و 37.5٪ أقل من المتوسط. من الجدول A ، يمكننا القول أن 37.5٪ من الحالات تغطي 1.15 σ وحدة. وبالتالي فإن الحالات المتوسطة 75 ٪ تقع بين المتوسط و ± وحدات 1.15 σ.
لذلك في هذا التوزيع ستشمل الحالات المتوسطة 75٪ الحدود من 14.25 إلى 25.75.
4. يتم استخدامه لمقارنة توزيعين من حيث التداخل:
إذا تم توزيع العشرات من مجموعتين على متغير معين بشكل طبيعي. ما نعرفه عن المجموعة هو الانحراف المعياري والمعياري لكلتا المجموعتين. ونريد أن نعرف مدى نجاح المجموعة الأولى في تجاوز المجموعة الثانية أو العكس بالعكس في ذلك الوقت ، يمكننا تحديد ذلك باستخدام منطقة الجدول ضمن NPC.
5. يساعدنا المجلس في تقسيم المجموعة إلى مجموعات فرعية وفقًا لقدرة معينة وتعيين الدرجات:
عندما نريد تقسيم مجموعة كبيرة في مجموعات فرعية معينة وفقًا لبعض القدرات المحددة في ذلك الوقت ، فإننا نستخدم وحدات الانحراف المعياري في NPC كوحدات القياس.
مثال:
تم إجراء اختبار التحصيل لطلاب الصف الثامن 600. يريد المعلم تعيين هؤلاء الطلاب في 4 درجات هي A و B و C و D وفقًا لأدائهم في الاختبار. على افتراض أن التوزيع الطبيعي للنتائج يمكن حساب عدد الطلاب في كل مجموعة.
حل:
تنقسم المساحة تحت NPC إلى وحدات ± 3 or أو وحدات 6..
هنا علينا تقسيم الطلاب إلى 4 أقسام.
لذلك كل قسم لديه
لذا ، إذا قمنا بتوزيع القسم من أجل الاستحقاق.
سيكون القسم أ في حدود 1.5 إلى 3 درجات
القسم B سيكون ضمن المتوسط إلى 1.5 درجة
القسم C سيكون ضمن المتوسط إلى -1.5σ
والقسم D سيكون في -1.5σ إلى - 3σ.
6. يساعد NPC على تحديد الصعوبة النسبية لعناصر أو مشاكل الاختبار:
عندما يكون من المعروف أن نسبة الطلاب الذين حلوا مشكلة بنجاح ، يمكننا تحديد مستوى صعوبة العنصر أو المشكلة باستخدام مساحة الجدول تحت NPC.
7. إن NPC مفيد لتطبيع توزيع الترددات:
من أجل تطبيع توزيع التردد ، نستخدم منحنى الاحتمالية العادي. بالنسبة لعملية توحيد الاختبار النفسي ، فإن هذه العملية ضرورية للغاية.
8. لاختبار أهمية الملاحظات من التجارب نستخدم NPC:
في تجربة نقوم باختبار العلاقة بين المتغيرات سواء كانت بسبب تقلبات الصدفة أو أخطاء إجراء أخذ العينات أو أنها علاقة حقيقية. يتم ذلك بمساعدة منطقة الجدول تحت NPC.
9. يستخدم NPC للتعميم حول السكان من العينة:
نحن نحسب الخطأ المعياري للخطأ القياسي ، الانحراف المعياري للانحراف المعياري والإحصاءات الأخرى للتعميم حول السكان التي يتم رسم العينة منها. لهذا الحساب نستخدم منطقة الجدول تحت NPC.
