الاحتمال: المعنى ، المفهوم والأهمية
بعد قراءة هذه المقالة سوف تتعلم: - 1. معنى الاحتمالية 2. مدارس الفكر المختلفة حول مفهوم الاحتمال 3. مصطلحات مهمة 4. أهمية 5. المبادئ.
معنى الاحتمالية:
في أيامنا هذه إلى الحياة اليومية ، فإن مصطلح "الاحتمالية" أو "الصدفة" مصطلح شائع الاستخدام. في بعض الأحيان ، نستخدم القول "ربما قد تمطر غداً" ، "ربما يأتي السيد إكس لأخذ صفه اليوم" ، "ربما أنت على حق". كل هذه المصطلحات ، الاحتمال و الاحتمال ينقلان نفس المعنى. ولكن في الاحتمالات الإحصائية ديه دلالة خاصة على عكس وجهة نظر الرجل العادي.
نظرية الاحتمال تم تطويرها في القرن السابع عشر. فقد أصله من الألعاب ، رمي العملات المعدنية ، رمي النرد ، رسم بطاقة من حزمة. في عام 1954 ، أخذ أنطوان غورنباند مبادرة واهتمامًا بهذه المنطقة.
بعده حاول العديد من الكتاب في الإحصاء إعادة صياغة الفكرة التي قدمها الأول. أصبح "الاحتمال" أحد الأدوات الأساسية للإحصاءات. في بعض الأحيان يصبح التحليل الإحصائي مشلولًا بدون نظرية الاحتمال. "يُعرّف احتمال حدث معين على أنه التكرار المتوقع لحدوث الحدث بين أحداث من نوع شبيه." (غاريت)
توفر نظرية الاحتمالية وسيلة للحصول على فكرة عن احتمال وقوع أحداث مختلفة ناتجة عن تجربة عشوائية من حيث التدابير الكمية التي تتراوح بين الصفر واحد. الاحتمال هو صفر لحدث مستحيل وواحد لحدث من المؤكد حدوثه.
مثال:
احتمال أن السماء سوف تسقط.
الشخص الذي يعيش الآن سيموت يوما ما هو 1.00.
دعونا توضيح معنى احتمال مع مثال على رسم بطاقة اللعب. هناك 4 أنواع مختلفة من البطاقات في حزمة ، وإذا تم تبديل هذه البطاقات عشوائياً ، فإن احتمالية رسم الأشياء بأسمائها الحقيقية هي 13/52 = 1/4. إذا تم رمي عملة غير متحيزة ، فإن احتمال حدوث الرأس (H) هو 1/2.
الاحتمالية كنسبة
احتمالية حدوث حدث تم ذكره أو تم التعبير عنه رياضيًا كنسبة. احتمال وجود عملة غير متحيزة ، سقوط الرأس هو 1/2 ، واحتمال وجود النرد الذي يظهر بقعة اثنين هو 1/6. يتم تعريف هذه النسب ، التي تسمى نسب الاحتمال ، من خلال ذلك الجزء ، الذي يساوي البسط الذي يساوي النتيجة أو النتائج المرجوة ، والمقام الذي يساوي مجموع النتائج الممكنة.
ببساطة أكثر ، فإن احتمال ظهور أي وجه على الوجه 6 (مثل 4 البقع) هو 1/6 أو
الاحتمال = النتيجة المرجوة / العدد الكلي للنتائج
وبالتالي ، فإن الاحتمال هو رقم أو نسبة تتراوح من 0 إلى 1. صفر لحدث لا يمكن أن يحدث و 1 لحدث ، من المؤكد حدوثه.
مدارس الفكر المختلفة حول مفهوم الاحتمالية:
هناك مدارس فكرية مختلفة حول مفهوم الاحتمال:
1. الاحتمالية الكلاسيكية:
النهج الكلاسيكي للاحتمالية هي واحدة من أقدم وأبسط مدرسة للفكر. وقد نشأت في القرن الثامن عشر الذي يفسر الاحتمالات المتعلقة بألعاب الفرص مثل رمي العملة ، النرد ، رسم البطاقات إلخ.
تم تعريف معنى الاحتمال من قبل عالم رياضيات فرنسي يدعى "لابلاس". وفقا له الاحتمال هو نسبة عدد الحالات المواتية بين عدد الحالات المحتملة على حد سواء.
أو بعبارة أخرى ، النسبة المقترحة بواسطة المقاربة الكلاسيكية هي:
العلاقات العامة. = عدد الحالات المواتية / عدد الحالات المحتملة على قدم المساواة
على سبيل المثال ، إذا قُذفت عملة معدنية ، وإذا سئل ما هو احتمال حدوث الرأس ، فإن عدد الحالات المواتية = 1 ، هو عدد الحالات المتساوية المحتملة = 2.
العلاقات العامة. من الرأس = 1/2
رمزيا يمكن التعبير عنها على النحو التالي:
ف = العلاقات العامة. (A) = a / n، q = Pr. (ب) أو (ليس أ) = ب / ن
1 - a / n = b / n = (أو) a + b = 1 وأيضاً p + q = 1
p = 1 - q ، و q = 1 - p وإذا كان a + b = 1 ، فهذا يعني أيضًا a / n + b / n = 1
في هذا النهج ، يختلف الاحتمال من صفر إلى 1. عندما يشير الاحتمال إلى الصفر ، يشير إلى أنه من المستحيل حدوثه.
إذا كان الاحتمال 1 ، فهناك يقين للحدث ، أي أن الحدث لا بد أن يحدث.
مثال:
من كيس يحتوي على 20 كرة سوداء و 25 كرة بيضاء ، يتم سحب كرة بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن يكون أسود.
العلاقات العامة. من كرة سوداء = 20/45 = 4/9 = p ، 25 Pr. من كرة بيضاء = 25/45 = 5/9 = ف
p = 4/9 و q = 5/9 (p + q = 4/9 + 5/9 = 1)
عيوب:
(1) يقتصر النهج التقليدي فقط على العملات والنرد والبطاقات وغيرها ؛
(2) هذا قد لا يفسر النتيجة الفعلية في حالات معينة ؛
(3) إذا كان عدد الحالات الأكثر احتمالاً متساوية هو أكثر من ذلك ، فمن الصعب معرفة قيم نسبة الاحتمال ، و
(4) إذا كان عدد الحالات المحتملة على الارجح هو 00 ، فإن هذا النهج غير ملائم.
2. نظرية التكرار النسبي للاحتمالية:
هذا النهج لاحتمالية هو احتجاج ضد النهج الكلاسيكي. وهو يشير إلى حقيقة أنه إذا تم زيادة n إلى ∞ ، فيمكننا اكتشاف احتمال p أو q.
مثال:
إذا كان n هو ∞ ، ثم Pr. من A = a / n = .5 ، Pr. من B = ب / ن = 5
إذا حدث حدث في أوقات من n يكون تردده النسبي هو / n. عندما يصبح n ∞ ، يُسمى حد التردد النسبي.
العلاقات العامة. (أ) = الحد / ن
حيث ن → ∞
العلاقات العامة. (ب) = حد bl.t. هنا → ∞.
إذا كان هناك نوعان من الأجسام بين كائنات ذات طبيعة متشابهة أو أخرى ، فإن احتمال كائن واحد هو Pr. من A = .5 ، ثم Pr. من B = .5.
عيوب:
1. هذا النهج ليس نهجا علميا وواقعيا على الإطلاق.
2. هذا النهج من الاحتمال هو مفهوم غير معروف.
3. هذا النوع من نهج الاحتمالات على الرغم من تطبيقه في مجال الأعمال والاقتصاد لا يزال بعد ذلك لا يمكن الاعتماد عليه.
مصطلحات مهمة في الاحتمالات:
1. الأحداث الحصرية للطرفين:
يقال إن الأحداث تكون حصرية عند عدم حدوثها في وقت واحد. من بين الأحداث ، إذا ظل أحد الأحداث موجودًا في إحدى التجارب ، فلن تظهر أحداث أخرى. وبعبارة أخرى ، فإن حدوث واحد يحول دون وقوع جميع الآخرين.
فمثلا:
إذا كانت الفتاة جميلة ، فإنها لا يمكن أن تكون قبيحة. إذا كانت الكرة بيضاء ، فلا يمكن أن تكون حمراء. إذا أخذنا أحداثًا أخرى مثل الموتى والحياة ، يمكن القول أن الشخص قد يكون حياً أو ميتاً في وقت معين.
لكن الكذب لا يمكن أن يكون على قيد الحياة والموتى في وقت واحد. إذا تم رمي عملة معدنية ، فسترى الرأس أو سيظهر الذيل. لكن كلاهما لا يمكن أن يظهر في نفس الوقت. يشير ذلك إلى أن رمي الرأس والذيل في رمي النقود يأتي في إطار أحداث متنافية.
من الناحية الرمزية ، إذا كانت الأحداث "A" و "B" متنافية ، فيمكن تقدير احتمال وقوع الاحتمال في P (A) أو P (B). في الأحداث المنفصلة المتبادلة P (AB) = 0.
2. الأحداث المستقلة والمعالين:
يقال إن حدثين أو أكثر يكونان مستقلين عندما لا يؤثر حدوث تجربة واحدة على الآخر. ويشير إلى حقيقة أنه إذا تم إجراء التجربة الواحدة تلو الأخرى ، فلن تتأثر تجربة واحدة بالمحاكمة الأخرى. كما أن إحدى المحاكم لا تصف أي شيء عن التجارب الأخرى.
مثال:
الأحداث في رمي العملة هي أحداث مستقلة. إذا تم رمي عملة معدنية واحدة تلو الأخرى ، فلن تتأثر تجربة واحدة بالآخر. في التجربة قد يكون الرأس أو الذيل مخروطيًا والذي لا يصف شيئًا ما سيحدث في التجربة الثانية. لذا فإن المحاكمة الثانية مستقلة تمامًا عن التجربة الأولى.
الأحداث المعالة هي تلك الأحداث التي قد يؤثر فيها وقوع وحدث حدث واحد في التجربة على حدوث التجارب الأخرى. هنا تعتمد الأحداث على بعضها البعض.
مثال:
إذا تم رسم بطاقة من مجموعة من بطاقات اللعب ولم يتم استبدالها ، فسيتم تغيير الاحتمال الثاني للمحاكمة.
3. الأحداث المحتملة على حد سواء:
يقال إن الأحداث متساوية الاحتمال ، عندما تكون هناك فرصة متساوية في الحدوث. إذا لم يحدث حدث واحد مثل أحداث أخرى ، فلن يتم اعتبار الأحداث على نفس القدر من الاحتمال. أو بعبارة أخرى ، يقال إن الأحداث تكون على الأرجح متساوية عندما لا يحدث حدث واحد أكثر من الآخرين.
مثال:
إذا تم طرح عملة غير منقسمة أو نرد ، فمن المتوقع أن يحدث كل وجه من الأرقام المتساوية على المدى الطويل. في مثال آخر ، في حزمة من بطاقات اللعب نتوقع أن تظهر كل بطاقة بالتساوي. إذا كانت العملة أو النرد منحازة فإنه من غير المتوقع أن يظهر كل وجه بشكل متساوٍ.
4. أحداث بسيطة ومركبة:
أحداث بسيطة. في الأحداث البسيطة ، نفكر في احتمال حدوث أو عدم حدوث الأحداث البسيطة. عندما نرمي العملة فنحن ندرس حدوث أحداث الرأس والذيل. في مثال آخر ، إذا كان في الكيس هناك 10 كرات بيضاء و 6 كرات حمراء وكلما نحاول معرفة احتمال رسم كرة حمراء ، يتم تضمينها في أحداث بسيطة.
أحداث مركبة:
ولكن من ناحية أخرى ، عندما ننظر إلى حدوث مشترك لحدثين أو أكثر ، تصبح أحداث مركبة. على عكس الأحداث البسيطة هنا يتم أخذ أكثر من حدث واحد بعين الاعتبار.
فمثلا:
إذا كان هناك 10 كرات بيضاء و 6 كرات حمراء في حقيبة وإذا تم إجراء سحب متتالية من 3 كرات وعندما نحاول معرفة احتمال 3 كرات مثل الكرات البيضاء. يوضح هذا المثال حقيقة أن الأحداث تعتبر في أكثر من حالتين نهائيتين.
أهمية الاحتمال:
مفهوم الاحتمال له أهمية كبيرة في الحياة اليومية. يعتمد التحليل الإحصائي على هذا المفهوم القيّم. في الواقع ، الدور الذي يلعبه الاحتمال في العلم الحديث هو دور بديل لليقين.
تشرح المناقشة التالية ما يلي:
أنا. نظرية الاحتمالات مفيدة للغاية لجعل التنبؤ. تشكل التقديرات والتنبؤات جزءًا مهمًا من التحقيق البحثي. بمساعدة الأساليب الإحصائية ، نقوم بعمل تقديرات لمزيد من التحليل. وبالتالي ، تعتمد الأساليب الإحصائية إلى حد كبير على نظرية الاحتمال.
ثانيا. لها أيضا أهمية كبيرة في صنع القرار.
ثالثا. تهتم بالتخطيط والسيطرة ومع وقوع الحوادث من جميع الأنواع.
د. إنها واحدة من الأدوات التي لا تنفصل عن جميع أنواع الدراسات الرسمية التي تنطوي على عدم اليقين.
v. مفهوم الاحتمالية لا يطبق فقط في الأعمال التجارية والخطوط التجارية ، بدلا من تطبيقه على جميع التحريات العلمية والحياة اليومية.
السادس. قبل معرفة إجراءات اتخاذ القرار الإحصائي يجب أن يكون على المرء أن يعرف نظرية الاحتمال.
السابع. خصائص الاحتمالية العادية. يعتمد المنحنى على نظرية الاحتمال.
التوزيع الطبيعي هو إلى حد بعيد التوزيع الأكثر استخدامًا لرسم الاستدلالات من البيانات الإحصائية بسبب الأسباب التالية:
1. تراكم عدد الأدلة التي تثبت أن التوزيع الطبيعي يوفر ملائمة جيدة أو يصف ترددات العديد من المتغيرات والحقائق في (i) الإحصاءات البيولوجية مثل نسبة الجنس في الولادات في بلد ما على مدى عدد من السنوات ، (2) البيانات الأنثروبومترية مثل: الطول ، الوزن ، (3) الأجور وإخراج أعداد كبيرة من العمال في نفس المهنة تحت ظروف مماثلة ، (4) القياسات النفسية مثل الذكاء ، وفترة رد الفعل ، والتكيف ، والقلق ، (5) أخطاء الرصدات في الفيزياء والكيمياء والعلوم الفيزيائية الأخرى.
2. التوزيع الطبيعي له قيمة كبيرة في التقييم والبحث في كل من علم النفس والتعليم ، عندما نستخدم القياس الذهني. تجدر الإشارة إلى أن التوزيع الطبيعي ليس توزيعًا فعليًا للعشرات على أي اختبار للقدرة أو التحصيل الأكاديمي ، بل هو نموذج رياضي.
يقترب توزيع درجات الاختبار من التوزيع الطبيعي النظري كحدود ، ولكن النوبة نادراً ما تكون مثالية ومثالية.
مبادئ الاحتمالية ومنحنى الاحتمال العادي:
عندما نرمي عملة غير منحازة قد يسقط رأس أو ذيل. وبالتالي ، فإن احتمال تساقط الرأس هو 50٪ أو 1/2 ، كما أن الذيل الساقط هو أيضًا 50٪ أو 1/2. إذا أرمنا عملتين غير متحيزتين ، فقد يسقطان في عدد من الطرق مثل HH (رأسين) HT (رأس العملة الأول و الذيل الثاني للعملة) ، TH (عملة الذيل الأول وعملة ثانية) أو TT (ذيلان).
إذن هناك أربع ترتيبات ممكنة إذا ألغينا عملتين ، (أ) و (ب) ، في نفس الوقت:
لدينا عملتين (H + T) 2 ؛ والتربيع ، الحدين (H + T) 2 = H 2 + 2HT + T 2 .
فرصة واحدة H 2 1 في 4 من 2 رأس. نسبة الاحتمال = 1/4
2 فرص HT 2 في 4 من 1 الرأس وذيل واحد ؛ نسبة الاحتمال = 1/2
1 T 2 1 فرصة في 4 من ذيول 2 ؛ نسبة الاحتمال = 1/4
المجموع = 4
إذا ألقينا ثلاث عملات (أ) و (ب) و (ج) في وقت واحد ، هناك 8 نتائج ممكنة:
معبرا عن النسب ، يكون احتمال ثلاثة رؤوس هو 1/8 (التركيبة 1) ؛ من رأسين وذيل واحد 3/8 (مجموعات 2 و 3 و 4) ؛ من رأس واحد واثنين من الذيل 3/8 (مجموعات 5 و 6 و 7) ؛ وثلاثة ذيول 1/8 (مجموعة 8). مجموع نسب الاحتمال هذه هو 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 ، أو 1.00.
إذا كان لدينا ثلاثة عوامل مستقلة تعمل ، يصبح التعبير (p + q) n ثلاث عملات معدنية (H + T) 3 . توسيع هذا الحدين ، نحصل على H 3 + 3H 2 T + 3HT 2 + T 3 ، والتي يمكن كتابتها ،
فرصة واحدة H 3 1 في 8 من أصل 3 رؤوس ؛ نسبة الاحتمال = 1/8
3 فرص H 2 T 3 في 8 من 2 رأس وذيل واحد ؛ نسبة الاحتمال = 3/8
3 فرص HT 2 3 في 8 من 1 رأس و 2 ذيول ؛ نسبة الاحتمال = 3/8
1 فرصة T 3 1 في 8 من 3 ذيول ؛ نسبة الاحتمال = 1/8
بطريقة مماثلة إذا أردنا إلقاء عشر عملات معدنية ، واستبدلنا 10 بـ n ، سيكون التوسع ذو الحدين
(H + T) 10 = H 10 + 10H 9 T + 45H 8 T 2 + 120H 7 T 3 + 210H 6 T 4 + 252 H 5 T 5 + 210 H 4 T 6 + 120 H 3 T 7 + 45H 2 T 8 + 10HT 9 + T 10 .
يحتوي التوسعة على 11 تركيبة وفرصة حدوث كل تركيبة من إجمالي الحدوث المحتمل يعبر عنها بمعامل كل مجموعة.
يمكننا تمثيل المصطلحات الإحدى عشر المذكورة أعلاه للتوسعة على طول المحور السيني على مسافات متساوية على النحو التالي:
يمكننا تمثيل فرصة حدوث كل مجموعة من H و T على شكل ترددات على طول المحور Y. إذا وضعنا كل هذه النقاط وضمنا إليها ، فسوف نحصل على مضلع تردد متناظر.
إذا كانت قيمة n كبيرة في الحدين (H + T) كبيرة (قل إنفينيتي) ، سيكون لدينا عدد كبير جدًا من النقاط على الرسم البياني ومن خلال الانضمام إليهما ، سنحصل على منحنى متماثل تمامًا. ويعرف مثل هذا المنحنى السلس والمتماثل باسم "منحنى الاحتمال العادي".
انظر بعناية إلى توزيع الترددات التالي ، الذي حصل عليه المعلم بعد فحص 150 طالبًا من الفصل التاسع في اختبار الإنجاز في الرياضيات (انظر الجدول 6.1):
هل يمكنك العثور على بعض الاتجاهات الخاصة في الترددات الموضحة في العمود 3 من الجدول أعلاه؟ ربما نعم! يكون تركيز الحد الأقصى للتردد ( f = 30) عند القيمة المركزية للتوزيع وتتناقص الترددات تدريجيًا بشكل متناظر على جانبي هذه القيمة. إذا قمنا برسم مضلع تردد بمساعدة التوزيع أعلاه ، فسوف يكون لدينا منحنى كما هو موضح في الشكل 6.1.
شكل المنحنى في الشكل هو مثل "Bell" وهو متناظر على كلا الجانبين. إذا قمت بحساب قيم المتوسط والوسيط والوسيط ، فستجد أن هذه الثلاثة هي نفسها تقريبًا (المتوسط = الوسيط = الوضع = 52).
يعرف منحنى "Bell" الذي يعرف تقنيًا باسم منحنى الاحتمال العادي أو منحنى عادي بسيط وتوزع التردد المقابل للعشرات ، مع وجود قيم متساوية لجميع المقاييس الثلاثة للاتجاه المركزي ، بالتوزيع الطبيعي.
هذا المنحنى الطبيعي له أهمية كبيرة في القياس النفسي والتربوي. في قياس الجوانب السلوكية ، غالباً ما يستخدم منحنى الاحتمال العادي كمنحنى مرجعي.
وبالتالي ، فإن منحنى الاحتمال العادي هو منحنى على شكل جرس متناظر. في بعض التوزيعات ، تميل القياسات أو الدرجات إلى التوزيع بشكل متناظر حول وسائلها. وهذا يعني أن غالبية الحالات تقع في منتصف التوزيع ، وهناك حالات قليلة للغاية تقع في نهاياتها القصوى (الحد الأدنى والعلوي و).
وبعبارة أخرى ، فإن معظم التدابير (النقاط) تركز في الجزء الأوسط من التوزيع والتدابير الأخرى (الدرجات) تبدأ في الانخفاض لكل من اليمين واليسار بنسب متساوية. هذا هو الحال في كثير من الأحيان مع العديد من الظواهر الطبيعية ومع العديد من السمات العقلية والاجتماعية.
إذا رسمنا أفضل منحنى مناسب لهذا التوزيع المتناظر ، فسيأخذ شكل منحنى على شكل جرس متناظر على جانبي مركزه.
