حساب التفاضل والتكامل الحاسوبي: الترميز ، وظائف الحقيقة وإمكانية تعددها

حساب التفاضل والتكامل الحاسوبي: الترميز ، وظائف الحقيقة وإمكانياتها المتعددة!

Symbolisation - قيمة الرموز الخاصة:

غالبًا ما يكون من الصعب تقييم الحجج المقدمة باللغة الإنجليزية أو أي لغة طبيعية أخرى بسبب الطبيعة الغامضة والملتبسة للكلمات المستخدمة ، وغموض بنائها ، والتعابير المضللة التي قد تحتوي عليها ، والأسلوب المجازي الذي يحتمل أن يكون مربكًا ، والإلهاء الناتج عن مهما كانت الأهمية الانفعالية التي قد تعبر عنها.

حتى بعد حل هذه الصعوبات لا تزال هناك مشكلة تحديد صلاحية أو بطلان الحجة. ولتجنب هذه الصعوبات المحيطية ، يكون من الملائم إعداد لغة رمزية اصطناعية خالية من مثل هذه العيوب ، حيث يمكن صياغة البيانات والحجج.

استخدام تدوين منطقي خاص ليس أمرا غريبا على المنطق الحديث. استخدم أرسطو أيضًا المتغيرات لتسهيل عمله الخاص. على الرغم من أن الاختلاف في هذا الصدد بين المنطق الحديث والكلاسيكي ليس من نوع ما ولكن من الدرجة ، فإن الاختلاف في الدرجة هو أمر هائل.

إن المدى الكبير الذي طور به المنطق الحديث لغته التقنية الخاصة جعلت منه أداة أكثر قوة وقوة للتحليل والاستنتاج. تساعدنا الرموز الخاصة للمنطق الحديث في إظهار بنية أكثر وضوحًا للهيكليات المنطقية للمقترحات والحجج التي قد تميل أشكالها إلى حجبها عن طريق ضعف اللغة العادية.

هناك قيمة إضافية للرموز الخاصة بالمتدرب وهي المساعدة التي يقدمونها في الاستخدام الفعلي والتلاعب في البيانات والحجج. الوضع هنا مماثل للواحد الذي يؤدي إلى استبدال الأرقام الرومانية بواسطة التدوين العربي. كلنا نعرف أن الأرقام العربية أكثر وضوحًا وأكثر سهولة في فهمها من الأرقام الرومانية القديمة التي شردتها.

لكن التفوق الحقيقي للأرقام العربية لا يكشف إلا في الحساب. يمكن لأي طالب أن يتضاعف بسهولة 113 × 9. لكن ضرب CXIII بواسطة IX هو مهمة أكثر صعوبة ، وتزداد الصعوبة كلما أخذت في الاعتبار أعداد أكبر وأكبر. وبالمثل ، يتم تسهيل رسم الاستدلالات وتقييم الحجج بدرجة كبيرة من خلال اعتماد تدوين منطقي خاص.

يعتقد المختصون في علم الأخلاق الحديث أنه من خلال مساعدة الرمزية ، يمكننا أن نجعل التحولات في التفكير المنطقي تقريبًا من خلال العين ، والتي من شأنها أن تستدعي دورًا للكليات العليا في الدماغ.

من وجهة النظر هذه ، من المفارقة ، أن المنطق لا يهتم بتطوير قدراتنا الفكرية ولكن بتطوير تقنيات تسمح لنا بإنجاز بعض المهام دون الحاجة للتفكير كثيراً.

رموز الاختلاط والنفي والافتراض:

نقسم جميع البيانات إلى فئتين عامتين ، بسيطة ومركبة. بيان بسيط هو واحد لا يحتوي على أي بيان آخر كمكون. على سبيل المثال ، "صادقة Sudhir" هو بيان بسيط. عبارة المركب هي عبارة تحتوي على عبارة أخرى كمكون. على سبيل المثال ، كلمة "Sudhir's honest و Sudhir's Intelligent" هي عبارة مركبة ، لأنها تحتوي على جملتين بسيطتين كمكونات.

إن فكرة وجود عنصر في البيان واضحة إلى حد ما ، على الرغم من أنها ليست بالضبط نفس "الجزء الذي هو في حد ذاته بيان". على سبيل المثال ، الكلمات الأربعة الأخيرة من العبارة "الرجل الذي أطلق النار على لينكولن كان فاعلا" يمكن بالفعل أن تعتبر بمثابة بيان في حد ذاتها. لكن هذا البيان ليس مكوّنًا في البيان الأكبر الذي تشكل هذه الكلمات الأربع جزءًا منه.

ولكي يكون جزء من البيان مكونًا في ذلك البيان ، يجب استيفاء شرطين: أولاً ، يجب أن يكون الجزء عبارة بحد ذاته ، وثانياً ، إذا تم استبدال الجزء في البيان الأكبر بأي بيان آخر ، ستكون نتيجة هذا الاستبدال ذات مغزى. على الرغم من استيفاء الشرط الأول في المثال المعطى ، فإن الحالة الثانية ليست كذلك. لأنه إذا تم استبدال الجزء "لينكولن كممثل" بعبارة "هناك أسود في أفريقيا" ، فإن النتيجة هي التعبيرات الباطلة "إن الرجل الذي أطلق النار هناك أسود في أفريقيا".

تقاطع :

Conjunction هو نوع من العبارات المركبة. يمكننا تشكيل اقتران بيانين بوضع كلمة "و" بينهما ؛ ويطلق على هذين البيانين "الملتحمة". وهكذا فإن العبارة المركبة "صادقة سودهير وذكاء سودهير" هي عبارة عن ارتباط ، يكون أول إقران له هو "صوت سودهير" والذي يكون إقرانه الثاني "ذكير سودهير".

كلمة "و" هي كلمة قصيرة وملائمة ، ولكنها تحتوي على استخدامات أخرى إلى جانب كلمات الاتصال. على سبيل المثال ، لا يعتبر البيان "Nehru و Netaji معاصرين" عبارة عن ارتباط بل عبارة بسيطة تعبر عن العلاقة. للحصول على رمز فريد يتمثل وظيفته الوحيدة في توصيل البيانات بشكل مشترك ، فإننا نقدم النقطة "” "كرمزنا للتواصل. وهكذا يمكن كتابة الاقتران السابق على أنه "ذكي سدير الذكي" لسدير. "بشكل عام ، حيث يكون p و q أي بيانين ، أيا كان الاقتران مكتوبًا p. q.

نحن نعلم أن كل عبارة إما صحيحة أو خاطئة. لذلك ، نقول ، إن كل بيان له قيمة الحقيقة ، حيث تكون قيمة الحقيقة لبيان حقيقي صحيحة ، وقيمة الحقيقة لبيان كاذب خاطئة. باستخدام هذا المفهوم لـ "قيمة الحقيقة" يمكننا تقسيم البيانات المركبة إلى فئتين مختلفتين ، طبقًا لما إذا كانت قيمة الحقيقة للبيان المركب محددة أم لا من خلال قيم الحقيقة لمكوناتها ، أو محددة بأي شيء بخلاف قيم الحقيقة. من مكوناته.

نطبق هذا التمييز على الارتباطات. يتم تحديد قيمة الحقيقة من الاقتران من اثنين من البيانات كليا وكاملة من قبل قيم الحقيقة من اثنين من اقترانه. إذا كانت كلتا العلامتين صحيحتين ، فسيكون الربط صحيحًا. وإلا فهو غير صحيح. ولهذا السبب يقال عن الاقتران بأنه بيان مجمع للحقيقة وظيفي ، ويقال إن مكوناته هي مكونات وظيفية للحقيقة.

ليس كل بيان مركب هو الحقيقة-- وظيفة ، ولكن. من أجل أغراضنا الحالية ، نحدد مكونًا لبيان مركب ليكون مكونًا عمليًا للحقيقة شريطة أنه إذا تم استبدال المكون في المركب من خلال أي عبارات مختلفة لها نفس قيمة الحقيقة مثل بعضها البعض ، فإن البيانات المركبة المختلفة تنتج من خلال تلك البدائل سوف يكون لها نفس قيم الحقيقة مثل بعضها البعض. والآن نحدد بيانًا مجمعًا ليكون بيانًا مجمعًا للحقيقة إذا كانت جميع مكوناته مكونات عملية وظيفية لها.

الاقتران عبارة مركبة تعمل في الحقيقة ، لذا فإن رمز النقطة هو رابط فعال للحقيقة. في ضوء أي بيانين ، / ؛ و q ، لا يوجد سوى أربع مجموعات ممكنة من قيم الحقيقة التي يمكن أن تكون لديهم. يمكن عرض هذه الحالات الأربع المحتملة ، وقيمة الحقيقة للارتباط في كل منهما ، كما يلي:

حيث p صحيح و q صحيح ، p * q صحيح.

حيث p صحيح و q هو false ، p * q غير صحيح.

إذا كانت p خاطئة و q صحيحة ، فإن p * q غير صحيح.

حيث أن قيمة p خاطئة و q خاطئة ، فإن p q q غير صحيح.

إذا كنا نمثل قيم الحقيقة "الحقيقية" و "الكاذبة" بأحرف كبيرة T و F ، فإن تحديد قيمة الحقيقة للاقتران بقيم الحقيقة لمطابعها يمكن تمثيله بشكل أكثر وضوحًا وبوضوح عن طريق الحقيقة الجدول باسم

من الملائم اختصار العبارات البسيطة بأحرف كبيرة ، وعادة ما تستخدم لهذا الغرض رسالة تساعدنا في تذكر العبارة التي تختصرها. لذا يجب أن نختصر كلمة "Sudhir's honest و Sudhir's smart" كما H · I.

بعض التعويقات التي يكون لكل من طرفيها نفس المصطلح - على سبيل المثال ، "بايرون كان شاعرا عظيما و بايرون كان مغامرًا عظيمًا" - هي أكثر وضوحا وربما أكثر وضوحا في اللغة الإنجليزية عن طريق وضع "و" بين المصطلحين الأصليين و عدم تكرار مصطلح ، كما هو الحال في "بايرون كان شاعرًا كبيرًا ومغامرًا عظيمًا". لأغراضنا ، نعتبر هذه الأخيرة بمثابة صياغة.

نفس العبارة كما في السابق وترمز إلى أي منهما بشكل غير مبال باسم P · A. إذا كان لكل من ارتباطات الربط نفس المصطلح الأصلي ، كما في "Lewis كان مستكشفًا شهيرًا وكان Clark مستكشفًا مشهورًا" ، فعادةً ما يكون الارتباط تم ذكرها بالإنجليزية عن طريق وضع "و" بين مصطلحات الموضوع وعدم تكرار المسند ، كما في "Lewis and Clark كانوا مستكشفين مشهورين". يرمز أي من الصيغتين إلى L • C.

كما هو موضح في جدول الحقيقة الذي يحدد رمز النقطة ، يكون الربط صحيحًا إذا وفقط إذا كان كلتا اقترانهما صحيحًا. لكن كلمة "و" لها استخدام آخر لا تدل فيه على مجرد اقتران (وظيفي للحق) بل لها معنى "وبعد ذلك" يعني الخلافة الزمنية.

وهكذا فإن العبارة "جونز دخل البلد في نيويورك وذهبت مباشرة إلى شيكاغو" مهمة وقد تكون حقيقية ، في حين أن "جونز ذهب مباشرة إلى شيكاغو ودخل البلد في نيويورك" لا يمكن فهمه.

وهناك فرق كبير بين "خلع حذائه ودخل إلى الفراش" و "دخل السرير وخلع حذاءه". ويركز النظر في مثل هذه الأمثلة على الرغبة في الحصول على رمز خاص بعلاقة حرفية وظيفية بشكل حصري. استعمال.

تجدر الإشارة إلى أن الكلمات الإنجليزية "ولكن" ، "بعد" ، "أيضا" ، "لا يزال" ، "على الرغم من" ، "ومع ذلك ،" "علاوة على ذلك" ، "مع ذلك" ، وهلم جرا ، وحتى الفاصلة و يمكن استخدام الفاصلة المنقوطة أيضًا في جمع عبارات اثنين في بيان مركب واحد ، وبمعناها المشترك ، يمكن تمثيلها كلها برمز النقطة.

نفي:

غالباً ما يتشكل نفي (أو متناقض أو إنكار) في بيان باللغة الإنجليزية عن طريق إدراج "لا" في البيان الأصلي. بدلا من ذلك ، يمكن للمرء أن يعبر عن نفي عبارة في اللغة الإنجليزية عن طريق البادئة بها العبارة "أنها غير صحيحة" أو "ليس هذا هو الحال". من المعتاد استخدام الرمز (يسمى "curl" أو ، أقل في كثير من الأحيان ، "تيلدا") لتشكيل نفي البيان. وهكذا ، حيث يرمز M إلى العبارة "جميع البشر مميتة" ، العبارات المختلفة

"ليس كل البشر بشريين" ، "بعض البشر ليسوا بشريين" ، "من الخطأ أن جميع البشر هم بشر" ، و "الأمر ليس كذلك أن جميع البشر بشريون" كلها تُرمز بلا مبالاة كـ ~ M. بشكل عام ، حيث p هو أي عبارة مهما كانت ، نفيها مكتوب ~ p. من الواضح أن التجعيد هو مشغل يعمل بالحقيقة. إن نفي أي بيان صريح هو خطأ ، ونفي أي بيان كاذب صحيح. يمكن عرض هذه الحقيقة ببساطة ووضوح من خلال جدول الحقيقة:

يمكن اعتبار جدول الحقيقة هذا بمثابة تعريف رمز النفي.

انفصال:

ويتكون الاختلاف (أو التناوب) من كلمتين باللغة الإنجليزية عن طريق إدخال كلمة "أو" بينهما. ويطلق على كل من بيان المكونين المدمجين معاً "disjuncts" (أو "البدائل"). اللغة الإنجليزية ، كلمة "أو" غامضة ، لها معنيان متلازمان ولكنهما يمكن تمييزهما.

ويتمثل أحدهم في البيان "سيتم التنازل عن الأقساط في حالة المرض أو البطالة" ، لأن النية هنا بوضوح هي التنازل عن الأقساط ليس فقط للأشخاص المرضى وللأشخاص العاطلين عن العمل ، بل للأشخاص الذين يعانون من المرض. والعاطلين عن العمل.

يسمى هذا المعنى للكلمة "أو" "ضعيف" أو "شامل". الفاصل الشامل هو الصحيح في حالة واحدة أو أخرى أو كلاهما disgguncts صحيحة؛ فقط إذا كانت كلتا العقوبتين غير صحيحتين ، فهما غير صحيحين. إن كلمة "أو" الشاملة تتضمن "إما ، ربما كليهما".

تستخدم كلمة "أو" أيضًا بمعنى قوي أو حصري ، حيث لا يكون المعنى "واحدًا على الأقل" ولكن "واحدًا على الأقل واحدًا على الأقل". عندما يسرد مطعم "سلطة أو حلوى" في قائمة العشاء الخاصة به ، يعني بوضوح أنه ، بالنسبة لسعر الوجبة المحدد ، قد يكون العشاء واحد أو الآخر ولكن ليس كلاهما.

نحن نفسر الانفصال الشامل عن كلمتين كإصرار على أن واحدًا من العبارات على الأقل صحيح ، ونفسر اختلافها الحصري كإصرار على أن أحد العبارات على الأقل صحيح ، ولكن ليس كلاهما صحيحًا.

لاحظ أن هذين النوعين من الانفصال لهما جزء من معانيهما المشتركة. هذا المعنى الجزئي الشائع ، وهو واحد على الأقل من المعادلات الصحيحة ، هو المعنى الكامل لـ "أو" الشاملة وجزء من معنى "أو".

حيث p و q هما أي بيانان ، فإن اختلافهما الضعيف أو الشامل هما ᵛ q p. إن رمزنا الخاص بالاختلاط الشامل (الذي يسمى "الإسفين" أو ، "أقل") هو أيضًا عامل مؤثر للحقيقة. فالاختلال الضعيف كاذب فقط في حالة كون كل من معاملاتها غير صحيحة. قد نعتبر الإسفين كما هو محدد في جدول الحقيقة التالي:

كانت حجة العينة الأولى التي تم تقديمها في هذا القسم عبارة عن تحليل منطقي.

للسجين الأعمى قبعة حمراء أو السجين الأعمى له قبعة بيضاء.

السجينة العمياء ليس لديها قبعة حمراء.

لذلك ، السجين العمياء لديه قبعة بيضاء.

يتميز شكلها بالقول إن أول إصدار رئيسي لها هو اختلال. الافتراض الثاني هو نفي أول فصل من الافتراض الأول ؛ واستنتاجها هو نفس الفصل الثاني من الافتراض الأول. من الواضح أن القياس المنطقي ، الذي تم تعريفه على هذا النحو ، صالح إما بتفسير كلمة "أو" ، بغض النظر عما إذا كان المقصود بخلل شامل أو حصري.

بما أن الحجة السليمة النموذجية التي لها انفصال عن الافتراض هو ، مثل المقياس المنطقي ، صالحة إما بتفسير الكلمة "أو" ، يمكن أن يتم التبسيط عن طريق ترجمة الكلمة الإنجليزية "أو" إلى رمز منطقي لدينا "ᵛ" بغض النظر عن معنى الكلمة الإنجليزية "أو" المقصود.

عندما يكون لكل من المقتطفات نفس مصطلح الموضوع "أو نفس المصطلح الأصلي ، فإنه من الطبيعي في الغالب أن نضغط صيغة فصلها بالإنجليزية عن طريق وضع" أو "أنه لا توجد حاجة لتكرار الجزء المشترك من العبارتين .

وبالتالي ، فإن "إما أن يكون سميث المالك أو سميث هو المدير" يمكن أن يُذكر على النحو نفسه كما يلي: "سميث هو المالك أو المدير" ، وأي واحد يرمز له بشكل صحيح كـ O v M. و "إما Red مذنب أو Butch غالبًا ما يُذكر على أنه "إما أحمر أو بوتش مذنب" ، أي واحد يرمز له بأنه R ᵛ B.

وكثيراً ما تستخدم كلمة "ما لم" لتشكل فصل البيانات بين اثنين. وهكذا ، فإن "ستفعل بشكل سيء في الامتحان ما لم تدرس" يُرمز له بشكل صحيح على أنه P ᵛ S. والسبب هو أننا نستخدم "ما لم" يعني أنه إذا كان الاقتراح غير صحيح ، فإن الآخر سيكون صحيحًا أو سيكون صحيحًا.

ولكن تستخدم كلمة "ما لم" في بعض الأحيان لنقل معلومات أكثر من ذلك ؛ قد يعني ذلك أن الاقتراح الواحد أو الآخر صحيح ولكن ليس كلاهما صحيحًا. أي أن "ما لم يكن" قد يكون مقصودًا كقاطع حصري.

وهكذا كتب جيريمي بينثام: "ما هو جيد سياسيا لا يمكن أن يكون سيئا أخلاقيا ، ما لم تكن قواعد الحساب ، التي تعد جيدة لعدد كبير ، سيئة لصغير". هنا ، كان المؤلف يعني أن واحدة على الأقل من المنطقتين. صحيح ، لكنه اقترح بوضوح أنه لا يمكن أن يكونا صحيحين.

علامات ترقيم:

في اللغة الإنجليزية ، تكون علامات الترقيم مطلوبة تمامًا إذا كانت العبارات المعقدة واضحة. يتم استخدام العديد من علامات الترقيم المختلفة ، والتي بدونها تكون العديد من الجمل غامضة للغاية. في لغة المنطق الرمزي ، فإن نفس علامات الترقيم - الأقواس ، الأقواس ، والأقواس - لها نفس القدر من الأهمية ، لأن البيانات المركّبة المنطقية غالباً ما تترابط مع بعضها البعض في معقدات أكثر تعقيدًا.

وبالتالي ، فإن p q q is r غامضة. قد يعني تقاطع p مع فصل q مع r ، أو قد يعني الفصل المنفصل الذي يكون أول ارتباط هو ارتباط p و q والذي يكون disjunct الثاني الخاص به r. نحن نميز بين هذين الحواسين المختلفين من خلال وضع علامة على صيغة معينة مثل p ((q ᵛ r)) أو آخر (p) q) ᵛ r.

يمكن رؤية الطرق المختلفة لترقيم الصيغة الأصلية لإحداث فرق من خلال النظر في الحالة التي يكون فيها p false ، و q و r كلاهما صحيح. في هذه الحالة ، الصيغة الثانية من الترقيم صحيحة (حيث أن مقطعها الثاني غير صحيح) ، في حين أن المعادلة الأولى خاطئة (حيث أن التزامها الأول غير صحيح).

هنا الاختلاف في علامات الترقيم يجعل الفرق بين الحقيقة والباطل ، لأن علامات الترقيم المختلفة يمكن أن تعين قيمًا مختلفة للحقيقة للـ p غامق amb r. غالبًا ما يتكون نفي الفصل من استخدام عبارة "لا" ولا ". وهكذا يمكن أن يتناقض مع العبارة "إما شكسبير أو برنارد شو أعظم كاتب مسرحي". "لا شكسبير ولا برنارد شو كان أعظم كاتب مسرحي". وقد يرمز إلى الانفصال باعتباره S v B ، ونفيها إما ~ (S ᵛ B) أو كـ (~ S) • (~ B).

وبالنظر إلى مجموعة من علامات الترقيم الخاصة بلغتنا الرمزية ، فمن الممكن أن نكتب ليس فقط حالات ارتباط ، أو نفي ، أو ضعف في الارتباط بها ، ولكن أيضًا انفصال حصري. يؤكد الاختزال الحصري لـ p و q أن واحدًا منهم على الأقل صحيح ، ولكن ليس كلاهما صحيحًا ، وهو مكتوب ببساطة تمامًا مثل (p ᵛ q) '~ (p • q).

أي بيان مركب مبني من عبارات بسيطة يستخدم فقط الوصلات الحقيقة - الوظيفية ، الضفيرة ، والوتد - له قيمة الحقيقة التي يحددها تماما من الحقيقة أو الباطل في بياناته البسيطة المكونة.

إذا كنا نعرف قيم الحقيقة للبيانات البسيطة ، فإن قيمة الحقيقة لأي مركب حقيقى وظيفي يتم حسابها بسهولة. على سبيل المثال ، إذا كان A و B هما صحيحان و X و Y عبارات خاطئة ، فإننا نحسب قيمة الحقيقة للبيان المركب ~ [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B) على النحو التالي. بما أن X خاطئة ، يكون الارتباط A = X خاطئًا ، لذا فإن نفيه ~ (A • X) صحيح. ب صحيح. لذا فإن نفيه ~ B غير صحيح ، وبما أن Y خطأ ، فإن فصل Y مع ~ B ، Y ᵛ ~ B ، غير صحيح.

الصيغة بين قوسين [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B)] هي اقتران صحيح مع عبارة خاطئة وبالتالي فهي خاطئة. ومن ثم فإن نفيها ، وهو البيان بأكمله ، صحيح. يمكّننا هذا الإجراء التدريجي دائمًا من تحديد قيمة الحقيقة لبيان مركب من قيم الحقيقة لمكوناته.

البيانات الشرطية والتضمين المادّي:

عندما يتم الجمع بين جملتين بوضع الكلمة "if" قبل الأول وإدراج الكلمة "then" بينهما ، يكون البيان المركب الناتج شرطيًا (يسمى أيضًا "افتراضي" أو "ضمني" أو "بيان مضمن"). .) في الشرطية ، يسمى بيان المكون الذي يتبع "if" "سابق" وبيان المكون الذي يتبع "ثم" هو "يترتب على".

على سبيل المثال ، "إذا كان السيد جونز هو الجار المجاور ل brakeman ، فعندئذ فإن السيد جونز يكسب بالضبط ثلاثة أضعاف ما يفعله brakeman" هو بيان شرطي يكون فيه "السيد جونز هو جار جارمان المجاور" هو الأصل و "السيد جونز يكسب بالضبط ثلاثة أضعاف ما هو brakeman 'هو ما يترتب عليه.

نقدم الآن رمزًا خاصًا لتمثيل هذا المعنى الجزئي المشترك لعبارة "if" ثم. نحدد رمز جديد "ض כ" (تسمى "حدوة الحصان") من خلال اتخاذ ص כ ف كاختصار ل~ (ص • ف). يمكن الإشارة إلى الأهمية الدقيقة للرمز "3" عن طريق جدول الحقيقة:

هنا العمودان الأولان هما أعمدة الدليل ؛ انهم ببساطة يضع كل التوليفات الممكنة من الحقيقة والباطل ل p و q. يتم ملء العمود الثالث بالرجوع إلى الثاني ، والرابع بالرجوع إلى الأول والثالث ، والخامس بالرجوع إلى الرابع ، والسادس متطابق مع الخامس بالتعريف.

الرمز "כ" لا ينبغي اعتبار أنها تدل على معنى "إذا، ثم" أو الوقوف لعلاقة ضمنا. سيكون ذلك مستحيلاً ، لأنه لا يوجد معنى واحد لـ "إذا" إذاً ؛ هناك عدة معانٍ ولكن الرمز "ض כ" لا لبس فيه تماما. ما يختصر pdq هو ~ (p • ~ q) ، الذي يتم تضمين معناه في معاني كل من أنواع الآثار المختلفة التي يتم بحثها ، والتي لا تشكل المعنى الكامل لأي منها.

يمكننا أن نعتبر الرمز "כ" على أنها تمثل نوعا آخر من ضمنا، وسيكون من المناسب للقيام بذلك، لأن وسيلة مريحة لقراءة ص כ ف هي "إذا ص ثم ف"، ولكن ليس من نفس النوع من الآثار مثل أي من تلك المذكورة سابقا. يطلق عليه "الآثار المادية" من قبل المتخصصين في مجال اللوجستيات ، الذين يعترفون بإسم خاص بأنه يعطي فكرة خاصة ، ولا ينبغي الخلط بينه وبين أنواع أخرى من الانعكاسات المعتادة.

لا يقترح "لا علاقة حقيقية" بين سابقة وما يترتب على نتيجة مادية. كل ما يؤكد أنه ، في واقع الأمر ، ليس هو الحال أن السوابق هي صحيحة عندما يترتب على ذلك خطأ. تجدر الإشارة إلى أن الرمز الضمني المادي هو عبارة عن ارتباط عملي-واقعي ، مثل الرموز الخاصة بالاقتران والتقطيع. على هذا النحو ، يتم تعريفه من قبل جدول الحقيقة.

وهكذا وكما يحددها جدول الحقيقة، رمز حدوة حصان "כ" لديه بعض الميزات التي قد تظهر في البداية غريبا. إن التأكيد على أن سابقة كاذبة تعني ضمناً أن النتيجة الحقيقية صحيحة ؛ والتأكيد على أن سابقة كاذبة تعني ماديا أنه نتيجة خاطئة هو أيضا صحيح.

وظائف الحقيقة ونماذج بيان قابلية التحديد الخاصة بها ، ومعادلة المواد ، والمعادلة المنطقية:

هناك توازي دقيق بين علاقة الحجة مع شكل الحجة ، من ناحية ، وعلاقة البيان إلى نموذج البيان ، من ناحية أخرى. إن تعريف "نموذج البيان" يجعل ذلك جليًا: نموذج البيان هو أي تسلسل للرموز التي تحتوي على متغيرات البيان ولكن لا توجد عبارات ، بحيث يتم استبدال البيانات بمتغيرات البيان - يتم استبدال نفس العبارة لمتغير العبارة نفسه طوال - النتيجة هي بيان.

وبالتالي ، فإن p ᵛq هو نموذج بيان ، عندما يتم استبدال العبارات للمتغيرات p و q ، ينتج عنها بيان. منذ بيان الناتج هو انفصال، ويسمى pvq "شكل بيان طباقي". بالقياس، ويطلق ع • ف و ف כ ف "حرف عطف" و "أشكال بيان المشروطة"، و ~ يسمى ص "شكل النفي" أو " شكل الإنكار. "

وكما يقال أن أي حجة لنموذج معين تمثل مثالاً بديلاً لهذا النموذج ، فإن أي بيان لنموذج معين يُقال إنه مثال بديل لنموذج ذلك البيان. ومثلما قمنا بتمييز الشكل المحدد لوسيطة معينة ، فإننا نميز الشكل المحدد لبيان معين كهذا البيان ، الشكل الذي ينتج عنه البيان عن طريق استبدال عبارة بسيطة مختلفة لكل متغير مختلف للبيان. وهكذا ، pvq هو الشكل المحدد لبيان "السجين العميان له قبعة حمراء أو السجين الأعمى له قبعة بيضاء".

نماذج بيان طائفي ومتناقض وشرطي:

من الطبيعي جداً أن تشعر أنه ، على الرغم من أن التصريحات "اغتيل لينكولن" (التي يرمز إليها بـ L) و "إما أن يكون لينكولن قد اغتيل أو أنه لم يكن كذلك" (التي يُشار إليها بـ L v ~ L)) ، فهي صحيحة ، بطرق مختلفة "أو" أنواع مختلفة "من الحقيقة. وبالمثل ، من الطبيعي أن نشعر أنه ، على الرغم من أن التصريحات "تم اغتيال واشنطن" (التي يرمز إليها بالصيغة W) و "تم اغتيال واشنطن على حد سواء ولم يتم اغتيالها" (التي يرمز إليها بـ W * ~ W) ، إلا أنها خاطئة " طرق مختلفة "أو" أنواع مختلفة "من الباطل. وبينما لا نتظاهر بتقديم أي نوع من التفسير النفسي لهذه "المشاعر" ، إلا أنه يمكننا مع ذلك الإشارة إلى بعض الاختلافات المنطقية التي قد تكون مناسبة لها.

العبارة L هي true والعبارة W غير صحيحة؛ هذه حقائق تاريخية. ليس هناك ضرورة منطقية عنها. قد تكون الأحداث قد وقعت بشكل مختلف ، ويجب أن يتم اكتشاف قيم الحقيقة لمثل هذه العبارات مثل L و W من خلال دراسة تجريبية للتاريخ.

لكن البيان L v ~ L ، على الرغم من صحته ، ليس حقيقة تاريخية. هناك ضرورة منطقية هنا: لم يكن من الممكن أن تكون الأحداث وكأنها زائفة ، ويمكن معرفة الحقيقة بشكل مستقل عن أي تحقيق تجريبي خاص. إن العبارة L v ~ L هي حقيقة منطقية ، حقيقة رسمية ، صحيحة في شكلها فقط. إنها نسخة بديلة لبيان من جميع مثيلات الاستبدال التي تمثل عبارات حقيقية.

ويطلق على بيان من ذلك فقط حالات الاستبدال الحقيقية "صيغة البيان الطيفي" ، أو "الحشو". لإثبات أن البيان من pv ~ p هو حشو ؛ نحن نبني جدول الحقيقة التالي:

لا يوجد سوى عمود أولي أو دليل واحد لجدول الحقيقة ، حيث أن النموذج قيد النظر يحتوي على متغير واحد فقط. وبالتالي ، لا يوجد سوى صفين ، يمثلان كل حالات الاستبدال الممكنة.

لا يوجد سوى حرف T في العمود أسفل نموذج الكشف المعني ، وتظهر هذه الحقيقة أن جميع مثيلاتها البديلة صحيحة. إن أي بيان يمثل مثالاً بديلاً لنموذج بيان مكروس صحيح في شكله ويقال في حد ذاته أنه مشوه أو حشوي.

ويقال إن بيانًا من ذلك هو مجرد حالات استبدال خاطئة "متناقضًا ذاتيًا" أو "تناقض" ، وهو زائف منطقيًا. إن العبارة من p · ~ p متناقضة ذاتيا ، لأن جدول الحقيقة الخاص بها لا يحدث إلا في F تحته ، مما يدل على أن جميع حالات إحلاله خاطئة. إن أي تصريح ، مثل W * ~ W ، وهو مثال بديل لصيغة بيان متناقض ذاتيا ، غير صحيح في شكله ، ويقال إنه نفسه متناقض ، أو تناقض.

تسمى نماذج كشف تحتوي على كل من عبارات صحيحة وكاذبة بين حالات استبدالها "نماذج عبارات طارئة". ويطلق على أي عبارة ذات صيغة محددة اسم "بيان طارئ". وهكذا ، p ، ~ p ، p ، q ، pvq ، p are q جميع نماذج العبارات الطارئة. وعبارات مثل L، ~ L، L • W، L ᵛW، وW L כ هي بيانات الطارئة، منذ القيم حقيقتها تعتمد أو الطارئة على محتوياتها بدلا من التركيز على أشكالها وحدها.

ليس من الواضح أن جميع أشكال التصريح تكتسي أو متناقضة أو طارئة مثل الأمثلة البسيطة المذكورة. على سبيل المثال، شكل بيان [(ص כ ف) כ ص] כ 3 ص ليست على الإطلاق واضح، على الرغم من الجدول حقيقته وسوف تظهر أن يكون حشوا. بل إنه يحمل اسمًا خاصًا ، "قانون بيرس".

معادلة المواد:

ويقال إن اثنين من العبارات "ما يعادل ماديا ،" أو "ما يعادلها في الحقيقة القيمة" ، عندما تكون إما صحيحة أو خاطئة على حد سواء. يعبر عن هذا الرمز بالرمز "≡". المكافئ المادي هو وظيفة الحقيقة ويمكن تعريفه من خلال جدول الحقيقة التالي:

عندما يكون هناك تصريحان متساويين جوهريًا ، فإنهما يتضمنان ماديًا بشكل مادي. يتم التحقق من ذلك بسهولة عن طريق جدول الحقيقة. ومن ثم يمكن قراءة الرمز "=" "إذا وفقط إذا". ويطلق على بيان الشكل p = q كلمة "bi-conditional" ، ويطلق على النموذج أيضًا "bi-conditional".

التكافؤ المنطقي:

جهازي عبارات منطقي عندما يكون (بيان) مكافئهم المادي هو حشو. وبالتالي ، فإن "مبدأ النفي المزدوج" ، الذي يُعبر عنه بـ p2 ، p2 ، ثبت أنه غير مشوق من خلال جدول الحقيقة التالي:

مما يثبت المعادلة المنطقية لـ p ≡ ~ ~ p.

الفرق بين التكافؤ المنطقي ومعادلة المواد مهم جدا. جملتان متساويتان منطقيًا فقط عندما يكون من المستحيل تمامًا أن يكون لكل من القيمتين قيم مختلفة للحقيقة.

لذلك ، فإن العبارات المكافئة منطقيًا لها نفس المعنى ويمكن استبدالها ببعضها البعض في أي سياق عمل واقعي دون تغيير قيمة الحقيقة لهذا السياق. لكن هناك تصريحان يعادلان ماديًا (حتى لو لم يكن لهما أي اتصال وقائعي مع بعضهما البعض) إذا كانا يحصلان فقط على نفس قيمة الحقيقة. ومن المؤكد أنه لا يمكن الاستعاضة عن التصريحات التي لا تعدو كونها معادلة ماديًا.

نظرية دي مورغان:

هناك نوعان من التكافؤ المنطقي (أي ، الشرطيان الحقيقيان المنطقيان) لبعض الاهتمامات الجوهرية والأهمية التي تعبر عن العلاقات المتبادلة بين الاقتران ، الفصل ، والنفي. بما أن pkq المفارق يؤكد فقط أن واحدًا على الأقل من مجموعتيه صحيحان ، فإنه لا يتناقض مع التأكيد على أن واحدًا على الأقل هو خطأ ، ولكن فقط من خلال التأكيد على أن كليهما غير صحيح. وبالتالي ، فإن تأكيد نفي pkq الانفصال مساوياً منطقياً لتأكيد اقتران نذري p و q. في الرموز ، لدينا pevq (pvq) ثنائية الشرطية (~ p • ~ q) ، التي يتم تحديد حقيقة منطقية بواسطة جدول الحقيقة التالي:

وبالمثل ، بما أن تأكيد اقتران p و q يؤكد أن كلاهما صحيح ، لتعارض هذا التأكيد ، فإننا نحتاج فقط إلى التأكيد على أن واحدًا على الأقل غير صحيح. وبالتالي ، فإن تأكيد نفي الارتباط p q q يعادل منطقيًا تأكيد اختلال نذاءات p و q. في الرموز ، لدينا pi-q مشروطة ب (p ~ q)، (~ p ᵛ ~ q) ، والتي ثبت بسهولة أنها حتمية.

يعرف هذان الشرطان الثنائيتان الطيفان بنظرية De Morgan ، بعد أن ذكرهما عالم الرياضيات و logician Augustus De Morgan (1806-1871). يمكن إعطاء نظريات دي مورغان صيغة مشتركة في اللغة الإنجليزية

يُعد نكران {Disjunction / conjunction} من عبارات اثنين مساويًا منطقيًا للنفي {اقتران / الانفصال} في العبارات الاثنين.

جداول الحقيقة:

لاختبار نموذج حجة ، نقوم بفحص كل حالات استبدال محتملة منه لنرى ما إذا كان أي واحد منهم لديه الافتراضات الحقيقية واستنتاج خاطئ. وبطبيعة الحال ، فإن أي شكل من أشكال الحجج له العديد من حالات الاستبدال بشكل لا نهائي ، لكننا لا نحتاج إلى القلق بشأن ضرورة فحصها في وقت واحد. ولأننا لا نهتم إلا بحقيقة أو كذب افتراضاتهم واستنتاجاتهم ، فإننا نحتاج فقط إلى النظر في قيم الحقيقة المعنية.

تحتوي الحجج التي تهمنا هنا فقط على عبارات بسيطة وعبارات مركبة مبنية من عبارات بسيطة عن طريق الوصلات التي تعمل بالحقيقة والتي ترمز إلى النقطة والضفيرة والإسفين والحدوة.

ومن ثم نحصل على جميع حالات الإحلال الممكنة التي يكون لمقدماتها ونتائجها قيم مختلفة للحقيقة من خلال فحص جميع الترتيبات المختلفة الممكنة لقيم الحقيقة للبيانات التي يمكن استبدالها - للمتغيرات المختلفة في بيان الحجج المطلوب اختبارها.

عندما يحتوي نموذج المتغير على متغيرين مختلفين فقط ، وهما p و q ، فإن كل مثيلات الاستبدال هي نتيجة إما استبدال العبارات الحقيقية لكل من p و q ، أو بيان true لـ p و a false for q ، أو false واحد لـ p و a true for q ، أو عبارات خاطئة لكل من p و q. يتم تجميع هذه الحالات المختلفة بشكل مريح في شكل جدول الحقيقة. لتحديد صحة نموذج الوسيطة

يمثل كل صف في هذا الجدول فئة كاملة من مثيلات الاستبدال. تمثل T's و F في العمودين الأولي أو التوجيهي قيم الحقيقة في العبارات المستبدلة للمتغيرين p و q في نموذج الوسيطة. نقوم بتعبئة العمود الثالث بالرجوع إلى الأعمدة الأولية أو دليل وتعريف رمز حدوة الحصان.

عنوان العمود الثالث هو "الافتراض الأول" لشكل الحجة ، والعمود الثاني هو "الافتراض" الثاني ، والعمود الأول هو "الخاتمة". عند فحص جدول الحقيقة هذا ، نجد أنه في الصف الثالث يوجد T تحت كل من الافتراضات و F تحت الاستنتاج ، مما يشير إلى أن هناك مثال واحد على الأقل لاستبدال هذا النموذج الذي يحتوي على افتراضات حقيقية واستنتاج خاطئ.

هذا الصف يكفي لإظهار أن نموذج الوسيطة غير صالح. أي حجة من هذا الشكل المحدد (أي ، أي حجة شكل محدد هو شكل الحجة المعطاة) يقال إنها ترتكب مغالطة التأكيد على ما يترتب على ذلك ، حيث أن ثانيتها الأولية تؤكد ما يترتب عليه من فرضية أولية مشروطة.

بعض نماذج الوسيطة الشائعة الشائعة:

القياس المنطقي

إنها واحدة من أبسط أشكال الحجج الصحيحة التي تعتمد على حقيقة أنه ، في كل فصل صحيح ، يجب أن يكون واحد على الأقل من المعادلات صحيحًا. لذلك ، إذا كان أحدهما غير صحيح ، فيجب أن يكون الآخر صحيحًا. نحن نرمز إلى القياس المنطقي (Disjunctive Syllogism) على النحو التالي:

هنا أيضا ، تظهر الأعمدة الأولية أو دليل جميع القيم الحقيقة المختلفة الممكنة من البيانات التي قد تكون بديلا للمتغيرات p و q. نملأ العمود الثالث بالرجوع إلى أول اثنين والرابع بالإشارة إلى الأول فقط.

الآن الصف الثالث هو الوحيد الذي تظهر فيه T تحت كلا من الافتراضات (الأعمدة الثالثة والرابعة) ، وهناك يظهر T تحت الاستنتاج أيضا (العمود الثاني). يبين جدول الحقيقة أن شكل الحجة ليس له مثيل بديل له افتراضات حقيقية واستنتاج خاطئ ، وبالتالي يثبت صحة الحجة من الاختبار.

Modus Ponens:

إن أبسط نوع من الحجة السليمة بشكل بديهي يتضمن بيانًا شرطيًا يتضح من خلال الحجة:

إذا كان هناك شمس ، فهناك ضوء.

هناك الشمس.

هناك ضوء.

الشكل المحدد لهذه الوسيطة ، والمعروف باسم modus ponens ، هو

هنا يتم تمثيل اثنين من الافتراضات من الأعمدة الثالثة والأولى ، ويتم تمثيل الخاتمة في الثانية. يمثل الصف الأول فقط حالات الاستبدال التي يكون فيها كلا الافتراضين صحيحين ، ويوضح الحرف T في العمود الثاني أنه في هذه الحجج يكون الاستنتاج صحيحًا أيضًا. يثبت جدول الحقائق هذا صحة أي حجة من بُسَق شكل النموذج.

Modus Tollens:

لقد رأينا أنه إذا كان البيان الشرطي صحيحًا ، فعندئذٍ إذا كانت النتيجة خاطئة ، يجب أن يكون الخطأ السابق غير صحيح. هذا النوع من الحجة شائع جدا في تحديد الباطل في بعض الافتراضات. في موقع الحادث ، قد تجعل الشرطة السبب:

إذا كان هناك شمس ، فهناك ضوء.

ليس هناك ضوء.

لا يوجد شمس.

سوف يرمز إلى الحجة على النحو التالي:

قد يتم إظهار صلاحية هذه الوسيطة ، والتي يطلق عليها modus tollens ، في جدول الحقيقة التالي

هنا مرة أخرى ليس هناك سبيل المثال الاستبدال، أي خط، التي والافتراضات، ص כ س و ~ ف، وكلاهما صحيح، وإبرام، ~ ع، غير صحيح.

القياس المنطقي:

هناك نوع شائع آخر من الحجة السليمة بحد ذاتها يحتوي فقط على عبارات شرطية. هنا مثال:

إذا كان الرجل يعمل بإخلاص ، فهو ناجح.

إذا كان الرجل ناجحًا ، فإنه يحصل على السعادة.

إذا كان الرجل يعمل بإخلاص ، يحصل على السعادة.

الشكل المحدد لهذه الحجة هو

بما أن هذه الحجة ، المسماة "القياس المنطقي الافتراضي" ، تحتوي على ثلاثة متغيرات بيان واضحة ، يجب أن يحتوي جدول الحقيقة هنا على ثلاثة أعمدة أولية أو دليل وسيتطلب ثمانية صفوف لإدراج حالات الإحلال الممكنة. بالإضافة إلى الأعمدة الأولية ، هناك ثلاثة أعمدة إضافية مطلوبة: اثنان للأفكار ، والثالثة للاستنتاج. يظهر الجدول باسم

في بنائه ، نملأ العمود الرابع بالإشارة إلى الأول والثاني والخامس بالرجوع إلى الثاني والثالث والسادس بالإشارة إلى الأول والثالث. عند فحص الجدول المكتمل ، نلاحظ أن الافتراضات صحيحة فقط في الصفوف الأولى والخامسة والسابعة والثامنة ، وفي جميع هذه الاستنتاجات صحيحة أيضًا. يحدد جدول الحقيقة هذا صحة نموذج الحجة ويثبت أن القياس المنطقي الافتراضي يبقى كذلك عندما يتم ترجمة بياناته الشرطية عن طريق رمز حدوة الحصان.

دليل رسمي من صحة:

من الناحية النظرية ، جداول الحقائق كافية لاختبار صلاحية أي حجة من النوع العام هنا. ولكن من الناحية العملية فإنها تنمو بشكل غير عملي مع زيادة عدد بيانات العناصر. A more efficient method of establishing the validity of an extended argument is to deduce its conclusion from its premisses by a sequence of elementary arguments each of which is known to be valid. This technique accords fairly well with ordinary methods of argumentation.

Consider, for example, the following argument:

If Sapna was nominated, then she went to Delhi.

If she went to Delhi, then she campaigned there.

If she campaigned there, she met Harish.

Sapna did not meet Harish.

Either Sapna was nominated or someone more eligible was selected.

Therefore someone more eligible was selected.

Its validity may be intuitively obvious, but let us consider the matter of proof. The discussion will be facilitated by translating the argument into our symbolism as

To establish the validity of this argument by means of a truth table would require one with thirty-two rows, since there are five different simple statements involved. But we can prove the given argument valid by deducing its conclusion from its premisses by a sequence of just four elementary valid arguments.

From the first two premisses A ﬤ B and BﬤC we validly infer A ﬤ C by a hypothetical syllogism. From A ﬤC and the third premiss C ﬤ D we validly infer A ﬤ D by another hypothetical syllogism. From A ﬤD and the fourth premiss ~D we validly infer ~A by modus tollens. And from ~A and the fifth premiss A ᵛ E, by a disjunctive syllogism we validly infer E, the conclusion of the original argument.

That the conclusion can be deduced from the five premisses of the original argument by four elementary valid arguments proves the original argument to be valid. Here the elementary valid argument forms hypothetical syllogism (HS), modus tollens (MT), and disjunctive syllogism (DS) are used as rules of inference in accordance with which conclusions are validly inferred or deduced from premisses.

A more formal proof of validity is given by writing the premisses and the statements that we deduce from them in a single column; and setting off in another column, to the right of each such statement, its “justification, ” or the reason we can give for including it in the proof.

It is convenient to list all the premisses first and to write the conclusion slightly to one side, separated by a diagonal line from the premisses. The diagonal line automatically labels all statements above it as premisses. If all the statements in the column are numbered, the “justification” for each statement consists of the numbers of the preceding statements from which it is inferred, together with the abbreviation for the rule of inference by which it follows from them. The formal proof of the argument above is written as:

We define a formal proof that a given argument is valid to be a sequence of statements each of which is either a premiss of that argument or follows from preceding statements of the sequence by an elementary valid argument, such that the last statement in the sequence is the conclusion of the argument whose validity is being proved.

We define an elementary valid argument to be any argument that is a substitution instance of an elementary valid argument form. One matter to be emphasized is that any substitution instance of an elementary valid argument form is an elementary valid argument. Thus the argument

is an elementary valid argument because it is a substitution instance of the elementary valid argument form modus ponens (MP). It results from

by substituting A • B for p and C ≡ (D v E) for q and is therefore of that form even though modus ponens is not the specific form of the given argument.

Modus ponens is a very elementary valid argument form indeed, but what other valid argument forms are to be included as rules of inference? We begin with a list of just nine rules of inference to be used in constructing formal proofs of validity:

Rules of Inference:

1. Modus Ponens (MP)

pﬤq